A Fast Algorithm for Lacunary Wavelet Bases Related to the Solution of Pdes

{ We describe a transform for locally reened wavelet bases which employs the cardinal Lagrange function instead of the scaling function. This construction is extended to biorthogonal vaguelettes into which a diierential operator is incorporated. The approach is relevant for the solution of nonlinear parabolic PDEs by an explicit or semi{ implicit time scheme when the nonlinear term is evaluated in physical space. Une transformation en bases lacunaires de vaguelettes biorthogonales pour la r esolution d'EDP R esum e { Nous d ecrivons d'abord une transformation en base localement adapt ee d'ondelettes qui utilise la fonction cardinale a la place de la fonction d' echelle. La construction est g en eralis ee aux vaguelettes biorthogonales construites en faisant intervenir un op erateur dii erentiel. Ceci permet d'appliquer l'algorithme a la r esolution d' equation aux d eriv ees partielles paraboliques nonlin eaires discretis ees par un sch ema explicite ou semi{implicite en temps, dans le cas o u la nonlin earit e est evalu ee dans l'espace physique. Version abr eg ee en frann cais { 1. Introduction. { Cette note se situe dans le cadre de la r esolution d'une EDP en temps et espace, ce dernier etant discr etis e par une base adaptative d'ondelettes a chaque pas de temps. L' evaluation de termes nonlin eaires n ecessite en g en eral des transformations entre l'espace physique et l'espace des coeecients d'ondelettes. Pour cela, l'algorithme classique de Mallat est diicilement applicable du fait de l'utilisation de la fonction d' echelle. Dans le but d'am eliorer l'algorithme de 1], nous d ecrivons une telle transformation par collocation locale dans l'esprit de 4]. La deuxi eme composante de la m ethode est la prise en compte d'un op erateur dii erentiel dans la construction de vaguelettes biorthogonales 3]. Nous construisons alors la transformation sur base lacunaire correspondante et rapportons quelques tests. 2. Multir esolution p eriodique. { A partir d'une multir esolution (MRA) g en er ee par les translat ees et dilat ees de b IR 2 L 2 (IR) une MRA p eriodique est obtenue par (1) 5]. La fonction cardinale (si elle existe) en d ecoule par (2). 3. Transformation en base lacunaire d'ondelettes. { Pour un ensemble lacunaire de coeecients non nuls on doit calculer leur valeurs directement et non pas par 1 FFT pour b en eecier de leur petit nombre. Au lieu d'une projection …